7. Équations différentielles
- Par Salah Belazreg
Pages 64 à 67
Citer ce chapitre
- BELAZREG, Salah,
- AGUILAR, Sébastien,
- BELAZREG, Salah,
- BORDI, Cédric,
- NADARAJ, Nathalie,
- ROSARD, Frédéric
- et MISSUL, Alexandre,
- Belazreg, Salah.
- Belazreg, S.
- S. Aguilar,
- S. Belazreg,
- C. Bordi,
- N. Nadaraj,
- F. Rosard
- et A. Missul
https://doi.org/10.3917/dunod.aguil.2025.01.0064
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- AGUILAR, Sébastien,
- BELAZREG, Salah,
- BORDI, Cédric,
- NADARAJ, Nathalie,
- ROSARD, Frédéric
- et MISSUL, Alexandre,
https://doi.org/10.3917/dunod.aguil.2025.01.0064
Les équations différentielles et leur résolution (ou intégration) interviennent dans de nombreux domaines des sciences. Elles gouvernent essentiellement des phénomènes complexes où des quantités variables évoluent dans le temps.
Soit à l’instant x un système décrit par une grandeur physique y(x).
À x + dx, le système sera décrit par la grandeur y(x + dx) = y(x) + dy.
Soit f une fonction définie de I → ℝ, I un intervalle ouvert de ℝ, telle que : x \mapsto y=f(x) et f est n fois dérivable.
On appelle équation différentielle une relation du type :
Toute relation pouvant se ramener à la forme (1) porte le même nom.
Le problème qui consiste à trouver l’ensemble des solutions est appelé intégration ou résolution de l’équation différentielle.
Le graphique d’une solution quelconque de l’équation différentielle est appelé courbe intégrale.
Si y est une fonction de x, l’équation différentielle s’écrit sous la forme : \Phi\left(y, \frac{d y}{d x}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \cdots, x\right)=0.
Lorsque f(x) = 0, on dit que l’équation différentielle est sans second membre ou homogène.Elles sont de la forme :
On a alors immédiatement :
Et ont pour solution générale :
Elles sont de la forme :
On montre que la solution générale de l’équation est la somme de la solution générale de l’équation sans second membre et de la solution particulière, soit :
On voit que : y(x)=y_{0}(x)+y_{p}(x) est solution générale de l’équation a y^{\prime}+b y=f(x)…
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